フェルミ分布関数と階段関数

2017/1/19 2017/7/30 物理学

フェルミ分布関数と階段関数の関係についてまとめます．

Heavisideの階段関数と他の階段関数

階段関数として有名なものにHeavisideの階段関数というものがあります．これをと置くと

(1)

と定義されます．ここではでの値は定義されていません．

特に名前はついていませんが，でも値を定義した階段関数を考えることができます．例えば値を取る関数をとすると

(2)

と定義することができます．特には単位ステップ関数と呼ばれています．

所で，物理学にフェルミ分布関数というものがあります．これをと置けば

(3)

と定義されます．は逆温度と言われるパラメータです．また，引数をにして関数を定義し直せば

(4)

と書くことができます．

この関数において絶対零度極限を取るととなるので，
引数の符号で関数の挙動が大きく変わります．

のときは

(5)

となり，のときは

(6)

となります．のときは明らかに

(7)

となります．

以上よりフェルミ分布関数は絶対零度極限において，階段関数を用いて

(8)

と表現できることが導けました．