3次元ベクトルの外積の回転 ∇×(A×B) の公式の証明

2019/9/7 数学, 物理学

3次元空間のベクトル解析で現れる2つのベクトルの外積に対する回転の公式の証明を紹介します．

3次元ベクトルの外積の回転の公式

3次元ベクトル $\mathbf{A}$ , $\mathbf{B}$ に対して下記の式が成立する．

(1) $\begin{align*} \nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = (\mathbf{B} \cdot \mathbf{\nabla}) \mathbf{A} - (\mathbf{A} \cdot \mathbf{\nabla}) \mathbf{B} + \mathbf{A} (\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{B}) - \mathbf{B} (\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{A}) \end{align*}$

証明

第 $i$ 成分について具体的に計算する．

(2) $\begin{align*} \left[ \nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) \right]_{i} =& \sum_{jk} \varepsilon_{ijk} \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \mathbf{A} \times \mathbf{B} \right)_{k} \\ =& \sum_{jk} \varepsilon_{ijk} \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \sum_{lm} \varepsilon_{klm} A_{l} B_{m} \right ) \\ =& \sum_{jklm} \varepsilon_{ijk} \varepsilon_{klm} \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( A_{l} B_{m} \right ) \\ =& \sum_{jlm} \left( \delta_{il} \delta_{jm} - \delta_{im} \delta_{jl} \right) \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( A_{l} B_{m} \right ) \\ =& \sum_{j} \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( A_{i} B_{j} \right) - \sum_{j} \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( A_{j} B_{i} \right) \\ =& \sum_{j} \frac{\partial A_{i}}{\partial x_{j}} B_{j} + \sum_{j} A_{i} \frac{\partial B_{j}}{\partial x_{j}} - \sum_{j} \frac{\partial A_{j}}{\partial x_{j}} B_{i} - \sum_{j} A_{j} \frac{\partial B_{i}}{\partial x_{j}} \\ =& \left[ (\mathbf{B} \cdot \mathbf{\nabla}) \mathbf{A} \right]_{i} + \left[ \mathbf{A} (\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{B}) \right]_{i} - \left[ \mathbf{B} (\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{A}) \right]_{i} - \left[ (\mathbf{A} \cdot \mathbf{\nabla}) \mathbf{B} \right]_{i} \\ =& \left[ (\mathbf{B} \cdot \mathbf{\nabla}) \mathbf{A} - (\mathbf{A} \cdot \mathbf{\nabla}) \mathbf{B} + \mathbf{A} (\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{B}) - \mathbf{B} (\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{A}) \right]_{i} \end{align*}$