フェルミ分布関数と階段関数

2017/1/19 2017/7/30 物理学

フェルミ分布関数と階段関数の関係についてまとめます．

Heavisideの階段関数と他の階段関数

階段関数として有名なものにHeavisideの階段関数というものがあります．これを $H(x)$ と置くと

(1) $\begin{align*} H(x) = \begin{cases} 1 & ( x > 0 ) \\ 0 & ( x < 0 ) \end{cases} \end{align*}$

と定義されます．ここでは $x = 0$ での値は定義されていません．

特に名前はついていませんが， $x = 0$ でも値を定義した階段関数を考えることができます．例えば値 $z$ を取る関数を $H_{z}(x)$ とすると

(2) $\begin{align*} H_{z}(x) = \begin{cases} 1 & ( x > 0 ) \\ z & ( x = 0 ) \\ 0 & ( x < 0 ) \end{cases} \end{align*}$

と定義することができます．特に $H_{1}(x)$ は単位ステップ関数と呼ばれています．

所で，物理学にフェルミ分布関数というものがあります．これを $f_{\text{FD}}(\epsilon)$ と置けば

(3) $\begin{align*} f_{\text{FD}}(\varepsilon) = \frac{1}{ \mathrm{e}^{\beta ( \varepsilon - \mu ) } + 1} \end{align*}$

と定義されます． $\beta = 1 / k_{\text{B}} T$ は逆温度と言われるパラメータです．また，引数を $\xi = \varepsilon - \mu$ にして関数 $f(\cdot)$ を定義し直せば

(4) $\begin{align*} f(\xi) = \frac{1}{ \mathrm{e}^{\beta \xi } + 1} \end{align*}$

と書くことができます．

この関数において絶対零度極限 $T \to +0$ を取ると $\beta \to \infty$ となるので，
引数 $\xi$ の符号で関数の挙動が大きく変わります．

$\xi > 0$ のときは

(5) $\begin{align*} f(\xi) = \frac{1}{ \mathrm{e}^{\beta \lvert \xi \rvert } + 1} \to \frac{1}{ + \infty + 1} = 0 \end{align*}$

となり， $\xi < 0$ のときは

(6) $\begin{align*} f(\xi) = \frac{1}{ \mathrm{e}^{ - \beta \lvert \xi \rvert } + 1} \to \frac{1}{ 0^+ + 1} = 1 \end{align*}$

となります． $\xi = 0$ のときは明らかに

(7) $\begin{align*} f(\xi) = \frac{1}{ \mathrm{e}^{ 0 } + 1} \to \frac{1}{ 1 + 1} = \frac{1}{2} \end{align*}$

となります．

以上よりフェルミ分布関数は絶対零度極限において，階段関数 $H_{1/2}(x)$ を用いて

(8) $\begin{align*} f(\xi) = H_{1/2}(-\xi) \end{align*}$

と表現できることが導けました．