フェルミ分布関数と階段関数の関係についてまとめます.
スポンサーリンク
Heavisideの階段関数と他の階段関数
階段関数として有名なものにHeavisideの階段関数というものがあります.これをと置くと
(1)
と定義されます.ここではでの値は定義されていません.
特に名前はついていませんが,でも値を定義した階段関数を考えることができます.例えば値
を取る関数を
とすると
(2)
と定義することができます.特には単位ステップ関数と呼ばれています.
フェルミ分布関数
所で,物理学にフェルミ分布関数というものがあります.これをと置けば
(3)
と定義されます.は逆温度と言われるパラメータです.また,引数を
にして関数
を定義し直せば
(4)
と書くことができます.
絶対零度でのFermi分布関数
この関数において絶対零度極限を取ると
となるので,
引数の符号で関数の挙動が大きく変わります.
のときは
(5)
となり,のときは
(6)
となります.のときは明らかに
(7)
となります.
結果
以上よりフェルミ分布関数は絶対零度極限において,階段関数を用いて
(8)
と表現できることが導けました.